জটিল সংখ্যার ওমেগা (ω)-র দুটি সূত্রের প্রমাণ!

টিল সংখ্যা- নামটাই জানি কেমন!!! শুনলেই কোষ্ঠকাঠিন্য রোগের কথা মনে পরে!!! দুঃখিত, একটু বেশিই বলে ফেললাম!:P! যাই হোক, জটিল সংখ্যা যতই জটিল হোক না কেন, এটি আসলেই খুব মজার! জটিল সংখ্যা নিয়ে "মজার গণিত"- এ আজ ৩য় পোস্ট। আগের পোস্টগুলো ছিলো ... ... ...




বিগত পোস্টে আমরা জটিল সংখ্যার ω এবং ω² নিয়ে জেনেছিলাম। আজ আমরা এই ω এবং ω² এর দুটি সূত্র সম্পর্কে জানবো এবং সেই সূত্রগুলোর প্রমাণও দেখবো ! :) ! কথা না বাড়িয়ে চলুন শুরু করিঃ

সূত্রাবলীঃ

সূত্র ১: ω³=1
সূত্র ২: 1+ω+ω²=0

সূত্র দুটির প্রমানঃ

সূত্র ১ এর প্রমাণঃ
আমরা জানি,
                   -1+√(-3)
          ω = ───────   ...................... (i)
                        2
                    -1-√(-3)
এবং, ω²= ───────   ...................... (ii)
                         2

(i) ও (ii) নং সমীকরণ গুন করে পাই,
                         -1+√(-3)         -1-√(-3)
          ω.ω² = ─────── x ───────
                             2                      2
    
                   {(-1)+√(-3)}{(-1)-√(-3)}
   বা, ω³ = ──────────────
                                2 x 2
   
                   (-1)² - {√(-3)}²
             = ────────── [যেহেতু, (a+b)(a-b) = a² - b²]
                            4

                   1 - (-3)
             = ──────
                       4

                   1 + 3
             = ─────
                      4

                  4
             = ──
                  4

             = 1

সুতরাং, ω³=1
[প্রমাণিত]

সূত্র ২ এর প্রমাণঃ
1, ω এবং ω² হচ্ছে ³√1 এর তিনটি মূল। আমাদের প্রমাণ করতে হবে, ³√1 এর মূল তিনটির যোগফল শুন্য(০)
অর্থাৎ, 1+ω+ω²=0

প্রমাণঃ
আমরা জানি,
                   -1+√(-3)
          ω = ───────
                        2
                    -1-√(-3)
এবং, ω²= ───────
                         2

সুতরাং, বামপক্ষ = 1+ω+ω²

                                      -1+√(-3)         -1-√(-3)
                          = 1 + ─────── + ─────── [ω এবং ω² এর মান বসিয়ে]
                                            2                      2

                                2 + {-1+√(-3)} + {-1-√(-3)}
                          = ──────────────────
                                                         2

                               2 - 1 + √(-3) - 1 - √(-3)
                          = ───────────────
                                                2

                               2 - 2
                          = ────
                                  2

                               0
                          = ──
                               2

                          = 0

অর্থাৎ, 1+ω+ω² = 0
[প্রমাণিত]

নোটঃ এই প্রমাণ দুটি অনেকেই হয়তোবা আগে থাকতেই জানেন। কিন্তু, আমি এই প্রমাণ দুটি "মজার গণিত"- এ লিখার কারন হলোঃ এমন অনেকেই আছে, যারা এই প্রমাণগুলো ভালোমতো বোঝে না/ স্যারেরাও বোঝায় না (আমি সব কলেজের স্যারদের কথা বলছি না)! তাই, এমন অনেক ছাত্রছাত্রীই আছে, যারা এই সহজ জিনিসগুলাও জানে না!ফলে, অংক করার সময় তাদের অনেক সমস্যায় পড়তে হয়! অনেকে তো না বুঝতে পেরে অংক "ঠাডা মুখস্থ" করা শুরু করে দেয়!!! অংক কি মুখস্থ করার জিনিস?!? :L ? যাই হোক, আজকের এই প্রমাণ দুটির একটিও যদি অন্তত একজন শিক্ষার্থী ভালোমতো বুঝতে পারে, তাহলে আমার আজকের লেখা সার্থক! :) !

ই লেখাটির পিডিএফ ফাইল দেখুন বা ডাউনলোড করুন (৮০৬ কেবি)

0 টি মন্তব্য:

একটি মন্তব্য পোস্ট করুন

 

মজার গণিত যাদের জন্যে উৎসর্গ

মজার গণিত ব্লগটা আমি সকল গণিতপ্রেমি শিক্ষার্থীদের জন্যে উৎসর্গ করলাম। বিশেষ করে, আমার প্রানপ্রিয় "এ.কে. হাই স্কুল" এর সকল বন্ধুদের এবং শিক্ষকদের জন্যে এই ব্লগটি উৎসর্গ করলাম! কারন, অংক আমি যতটুকুই পারি না কেন, এ.কে. হাই স্কুল থেকেই অংকের প্রতি আমার ভালোবাসা জন্মে। তাই এখনো আমার মাঝে মাঝে মনে হয়, "স্কুল জীবনটাই সবচেয়ে মজার (অংকের মত!)" ...

এ.কে. - আমি চিরকৃতজ্ঞ তোমার কাছে!

মজার গণিত ফ্যান পেজ




মজার গণিতের সঙ্গেই থাকুন।

আমি কে?

-। থাকি নারায়ণগঞ্জ। বর্তমানে অধ্যয়নরত আছি কুয়েটের কম্পিউটার বিজ্ঞান ও প্রকৌশল বিদ্যা বিভাগে। নিজের সম্পর্কে তেমন কিছুই জানি না! মাঝে মাঝে গুগলে "mubin986" লিখে সার্চ দিয়ে নিজেকে চেনার চেষ্টা করি! পড়ালেখা বাদে সকল কাজ করতেই আমার ভালো লাগে! গণিতকে কিসের জন্যে যে ভালো লাগে?- তা আমি নিজেও জানি না! কারণ, গণিতকে আমার কাছে পড়ালেখা মনে হয় না! এটাকে আমার কাছে খেলা মনে হয়! যেই খেলায় হারতেও মজা লাগে! কারণ, ওই হারের মধ্যেই লুকিয়ে থাকে এক নতুন খেলা!!